Definition - Konvexes Optimierungsproblem

• Typen:
  • Duales Optimierungsproblem
• Beispiele:
  • Logistische Regression
  • Support Vector Machine
• Konstrukte:
  • Slaters Bedingung
• Generalisierungen:
  • Allgemeines Optimierungsproblem
• Eigenschaften:
  • Zulässige strikt konvexe Optimierungsprobleme haben eine eindeutige Lösung
  • Lösung eines konvexen Optimierungsproblems durch Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren
  • Slaters Bedingung impliziert starke Dualität
  • KKT-Bedingungen bei konvexem Optimierungsproblem hinreichend für Lösung des primalen Problems
  • Punkt erfüllt KKT genau dann wenn er das primale und duale Problem löst
• Involvierte Definitionen:
  • Minimum
  • Konvexe Menge
  • Konvexe Funktion
  • Affine Abbildung
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 3.4.1)

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Definition: Konvexes Optimierungsproblem

Sei eine konvexe Menge.
Sei eine konvexe Zielfunktion.
Seien konvexe Funktionen.
Seien affine Funktionen.

Als konvexes Optimierungsproblem definieren wir:

Es wird also ein gesucht, das von allen , die die Nebenbedingungen erfüllen, dasjenige ist, welches die Funktion am stärksten minimiert.

Anmerkung

Affine und lineare Funktionen

Da lineare Abbildungen affin sind, ist es hier auch ausreichend, dass die linear sind.