Proposition - Lösung eines konvexen Optimierungsproblems durch Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren

• Involvierte Definitionen:
  • Allgemeines Optimierungsproblem
  • Konvexe Funktion
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Affine Funktion
  • Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Satz 3.4.7 und Korollar 3.4.9)

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Proposition: Lösung eines Optimierungsproblems mit affinen Gleichheitsnebenbedingungen durch Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren

Sei eine konvexe, differenzierbare Funktion.
Seien affine Funktionen.

Sei das folgende Optimierungsproblem mit Gleichheits-Nebenbedingungen gegeben:

Dann gilt:

Es existiert ein , sodass

und Lagrange-Multiplikatoren , sodass

genau dann, wenn (), dass eine Lösung des Optimierungsproblems ist.