Proposition - Injektive stetige Funktionen über einem beliebigen Intervall sind streng monoton

• Involvierte Definitionen:
  • Injektivität
  • Stetigkeit
  • Funktion
  • Definition - Intervall
  • Streng monotone Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Injektive stetige Funktionen über einem beliebigen Intervall sind streng monoton

Sei ein beliebiges Intervall.
Sei injektiv und stetig.

Dann gilt: ist streng monoton.

Beweis

Seien und . Mit Lemma 15.2.10 gilt die Behauptung bereits für abgeschlossene Intervalle und damit auch für das Intervall .

Teil 1: Angenommen, ist streng monoton wachsend auf

Wir nehmen zunächst an, dass auf streng monoton wachsend ist.

Seien mit . Nach Definition 14.1.9 1.) ist zu zeigen, dass

Seien nun so, dass .

Mit Lemma 15.2.10 folgt, dass auf entweder streng monoton wachsend oder fallend ist. Da wir bereits angenommen haben, dass auf streng monoton wachsend ist, muss auch auf streng monoton wachsend sein - denn beides gleichzeitig schließt sich aus. Damit folgt:

was zu zeigen war.

Teil 2: Angenommen, ist streng monoton fallend auf

Wir nehmen nun an, dass auf streng monoton fallend ist.

Seien mit . Nach Definition 14.1.9 2.) ist zu zeigen, dass

Seien jetzt so, dass .

Mit Lemma 15.2.10 folgt, dass auf entweder streng monoton wachsend oder fallend ist. Da wir bereits angenommen haben, dass auf streng monoton fallend ist, muss auch auf streng monoton fallend sein - denn beides gleichzeitig schließt sich aus. Damit folgt:

was zu zeigen war.