Lemma - Injektive stetige Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall sind streng monoton

• Generalisierungen:
  • Injektive stetige Funktionen über einem beliebigen Intervall sind streng monoton
• Involvierte Definitionen:
  • Injektivität
  • Stetigkeit
  • Funktion
  • Abgeschlossenes Intervall
  • Streng monotone Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Lemma: Injektive stetige Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall sind streng monoton

Sei injektiv und stetig.

Dann gilt: ist streng monoton.

Beweis

Sei injektiv und stetig.

Teil 1:

Ist , dann gibt es keine zwei Punkte , sodass gelten könnte, wie in Definition 14.1.9 6.) verlangt. Damit ist die Implikation immer wahr.

Sei daher ==im Folgenden ==

Teil 2:

Da , kann höchstens streng monoton wachsend sein - und das zeigen wir jetzt mit einem Beweis durch Widerspruch.

Sei dazu (statt ). Damit gilt

Wäre streng monoton wachsend, so müsste gelten:

Angenommen, stattdessen gilt: .

Dann gilt mit dem Zwischenwertsatz:

↯

Das ist ein Widerspruch, da mit Gleichung gilt, dass . Somit kann gar nicht in dem abgeschlossenen Intervall liegen.

Es folgt, dass Gleichung gelten und damit streng monoton wachsend sein muss.

Teil 3:

Da , kann höchstens streng monoton fallend sein - und das zeigen wir jetzt mit einem Beweis durch Widerspruch.

Sei dazu (statt ). Damit gilt

Wäre streng monoton fallend, so müsste gelten:

Angenommen, stattdessen gilt: .

Dann gilt mit dem Zwischenwertsatz:

↯

Das ist ein Widerspruch, da mit Gleichung gilt, dass . Somit kann gar nicht in dem abgeschlossenen Intervall liegen.

Es folgt, dass Gleichung gelten und damit streng monoton fallend sein muss.

Teil 4: für das abgeschlossene Intervall

Darauf habe ich keine Lust mehr. Der Beweis ist ätzend und mir zu… monoton. (oder ich bin zu müde).