Korollar - Zwischenwertsatz von Bolzano

• Bewiesen durch:
  • Nullstellensatz
  • Monotoniegesetz (A8)
  • Proposition 15.1.11
• Involvierte Definitionen:
  • Stetigkeit
  • Funktion
  • siehe auch Mittelwertsatz
• Referenz: Mathegrundlagen

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Korollar: Zwischenwertsatz von Bolzano

Sei eine stetige Funktion mit .
Sei eine Zahl mit

Dann gilt:

Korollar: Zwischenwertsatz von Bolzano (umgekehrt)

Sei eine stetige Funktion mit .
Sei eine Zahl mit

Dann gilt:

Beweis

Ist , dann sind wir bereits fertig.

Sei also .
Sei .
Sei definiert durch .

Da stetig ist, ist mit Proposition 15.1.11 auch stetig.

Da gilt mit dem Monotoniegesetz (A8):

Damit dürfen wir den Nullstellensatz von Bolzano anwenden. Es gibt also ein , sodass

was zu zeigen war.