Proposition - Umkehrfunktion stetiger injektiver Funktion auf einem Intervall ist stetig

• Involvierte Definitionen:
  • Umkehrfunktion
  • Stetigkeit
  • Intervall
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Umkehrfunktion stetiger Funktion auf einem Intervall ist stetig

Sei ein beliebiges Intervall.
Sei eine injektive stetige Funktion.

Dann ist stetig.

Beweis

Sei eine injektive, stetige Funktion. Mit Proposition 15.2.11 folgt daraus, dass auch streng monoton ist.

Teil 1: sei streng monoton wachsend

Wir nehmen nun zunächst an, dass streng monoton wachsend ist.

Mit Proposition 14.1.11 2.) folgt, dass ebenfalls streng monoton wachsend ist.

Sei .
Sei (also ).

Wir machen jetzt noch eine zusätzliche Fallunterscheidung über :

Teil 1.1 Sei kein Randpunkt von

Da kein Randpunkt von ist, gibt es sodass trotzdem gilt:

Da streng monoton wachsend ist, gilt mit :

Weil wir ja gewählt hatten, gibt finden wir ein , sodass:

In der Mitte von Gleichung finden wir quasi die Randpunkte der -Umgebung von . Für alle Punkte in diesem gilt:

Da streng monoton wachsend ist, folgt für die Urbilder in Gleichung :

Da , gilt weiter:

Das heißt, für finden wir ein , sodass mit gilt:

Mit dem Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit folgt, dass in stetig ist.

Teil 1.2 Sei der linke Randpunkt von

Das setzt voraus, dass ein links abgeschlossenes Intervall ist.

Dann gibt es sodass trotzdem gilt:

Da streng monoton wachsend ist und nach Annahme , gilt auch:

Wir finden nun wieder ein , sodass

Da streng monoton wachsend ist, folgt für die Urbilder in Gleichung:

Da , gilt weiter:

Das heißt, für finden wir ein , sodass:

Mit dem Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit folgt, dass in stetig ist.

Teil 1.3 Sei der rechte Randpunkt von

Äquivalent zu Teil 1.2

Teil 2: sei streng monoton fallend

Äquivalent zu Teil 1.