Proposition - Umkehrfunktion streng monoton wachsender Funktion ist streng monoton wachsend

• Involvierte Definitionen:
  • Streng monoton wachsende Funktion
  • Funktion
  • Umkehrfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion ist streng monoton

Ist eine streng monoton wachsende Funktion, so ist ebenfalls streng monoton wachsend.

Beweis

Sei eine streng monoton wachsende Funktion. Wir zeigen zunächst, dass es überhaupt ein zu gibt.

Da damit auch monoton ist, gilt mit Proposition 14.1.11 1.), dass injektiv ist. Daher gibt es eine Umkehrfunktion .

Seien nun und . Dann ist entweder:

1. . Dann gibt es mit und . Da streng monoton wächst, gilt . Damit gilt . Es folgt, dass auch streng monoton wächst.
2. oder . Dann gibt es mit und . Da streng monoton wächst, gilt . Damit gilt . Es folgt, dass auch streng monoton wächst.