Proposition - Funktion hat an jeder lokalen Extremstelle eine horizontale Tangente

• Involvierte Definitionen:
  • Intervall
  • Funktion
  • Innerer Punkt
  • Differenzierbarkeit
  • Lokales Extremum
  • Tangente
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Funktion hat an jeder lokalen Extremstelle eine horizontale Tangente

Sei ein Intervall.
Sei ein innerer Punkt von .
Sei eine Funktion, die in differenzierbar ist.

hat in ein lokales Extremum .

Anmerkung

Tipp

Das heißt: an lokalen Extremstellen ist die Steigung der Tangente , die Tangente ist also horizontal.

Gültigkeit nur für innere Punkte

Die Proposition ist nur für innere Punkte gültig. Andernfalls könnte man eine Funktion wie folgt konstruieren:

---
bounds: [-1,1,-1,1]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x)=x>0 ? x : 999

An der Stelle (die nach Definition kein innerer Punkt von ist) hat offensichtlich ein globales (und damit auch lokales) Minimum. Für an der Stelle gilt aber keineswegs , die Steigung ist offensichtlich ungleich .

Achtung: hat in ein lokales Extremum.

Als Gegenbeispiel wählen wir

---
bounds: [-5,5,-5,5]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x)=x^3

Beweis

Sei ein Innerer Punkt von .
Sei ein lokales Maximum von .

Nach Definition 16.1.7 1.) gibt es damit ein , sodass

Ist nun in differenzierbar, so gilt:

Das heißt, dass für beliebige gegen konvergente Folgen gegen konvergiert. Außerdem folgt mit Proposition 16.1.3, dass in stetig ist.

Mithilfe des Einschnürungssatzes werden wir nun zeigen, dass . Wir zeigen also, dass und .

Teil 1: Einschnürung von unten

Sei zunächst eine Folge mit mit .
Sei zudem so, dass

also so, dass alle Folgenglieder kleiner als sind.

Dann gilt:

Mit Gleichung gilt

Mit Gleichung und da gilt außerdem, dass

Da mit Gleichungen und sowohl der Nenner als auch der Zähler des Bruches in Gleichung kleiner als sind, folgt mit Proposition 12.2.13, dass

Also .

Einschnürung von oben

Sei wieder eine Folge mit mit .
Sei jetzt aber so, dass

also so, dass alle Folgenglieder größer als sind.

Dann gilt wieder:

Mit Gleichung gilt

Mit Gleichung und da gilt außerdem (wie in Gleichung , dass

Da mit Gleichung der Zähler des Bruches in , der Nenner mit jedoch ist, folgt mit Proposition 12.2.13, dass

Also .

Teil 3: Schluss

Da mit Teil 1 und Teil 2 gilt:

Muss gelten: .

Für lokale Minima folgt der Beweis äquivalent.