Proposition - Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

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  • Differenzierbarkeit
  • Stetigkeit
  • Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

Eine Funktion ist in jedem Punkt stetig, in dem sie differenzierbar ist.

Beweis

Mit Definition 15.1.1 ist zu zeigen, dass für alle Folgen in gilt:

Sei ein beliebiges Intervall mit mehr als einem Punkt.
Sei ein Punkt.
Sei in differenzierbar.
Sei eine Folge mit und .

Dann gilt:

Weiter gilt

Mit Definition 16.1.1 1.) gilt, dass der Grenzwert existiert. Der Grenzwert der Folge existiert ebenfalls, insbesondere gilt .

Wir dürfen daher Proposition 13.4.12 anwenden. Es folgt:

Damit gilt, dass , was zu zeigen war.