Theorem - Das Bild einer stetigen Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist ein abgeschlossenes Intervall und außerdem beschränkt

• Involvierte Definitionen:
  • Abgeschlossenes Intervall
  • Bild
  • Funktion
  • Beschränktheit von Funktionen
  • Stetigkeit
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Das Bild einer stetigen Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist ein abgeschlossenes Intervall und außerdem beschränkt

Sei .
Sei stetig.

Dann ist

1. ein abgeschlossenes Intervall und
2. beschränkt.

Beweis

Sei .

Mit Korollar 15.2.5 ist ein Intervall. Wir zeigen nun mithilfe von Lemma 15.2.7, dass das Intervall auch abgeschlossen ist.

Sei hierzu eine beliebige Folge mit . Dann gibt es eine Folge mit , sodass

Da (durch und ) beschränkt ist, ist auch beschränkt.

Daher besitzt mit dem Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge .

Da für alle Folgenglieder von gilt, dass , folgt und damit .

Da stetig ist, ist auch auf stetig und es folgt

Mit Gleichung ist eine Teilfolge von und der Grenzwert liegt in .

Mit Lemma 15.2.7 folgt, dass ein abgeschlossenes Intervall ist.

Da abgeschlossene Intervalle beschränkt sind, folgt, dass auch beschränkt ist.