Definition - Beschränktheit von Funktionen

• Beispiele:
  • Dirichletfunktion
  • Konstante Funktion
  • Wurzelfunktion
• Generalisierungen:
  • Beschränktheit
• Eigenschaften:
  • Surjektive Funktionen deren Bild die reellen Zahlen sind sind nicht beschränkt
  • Verknüpfungen beschränkter Funktionen sind beschränkt
  • Multiplikation mit Funktions-Nullfolgen
  • Funktion ist L-glatt gdw. ihre Hessematrix beschränkt ist
• Hinreichende Aussagen:
  • Das Bild einer stetigen Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist ein abgeschlossenes Intervall und außerdem beschränkt
  • Funktion ist beschränkt gdw. ihre Stammfunktion ist Lipschitz-stetig
• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Beschränktheit nach unten (Funktionen)
  • Beschränktheit nach oben (Funktionen)
• Referenz: Mathegrundlagen

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Definition: Beschränktheit von Funktionen

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn nach unten und nach oben beschränkt ist.

Anmerkung

Rechentipp

Sei . Es gilt:

ist beschränkt ist nach oben beschränkt

Erbsenzählerei

Schränken wir den Definitionsbereich einer gegebenen Funktion so ein, dass die resultierende Funktion beschränkt ist, dann ist die so eingeschränkte Funktion beschränkt.

Beispiel: ist nicht beschränkt. Die Funktion ist aber sehr wohl beschränkt.