Aufgabe - Surjektive Funktionen deren Bild die reellen Zahlen sind sind nicht beschränkt

• Involvierte Definitionen:
  • Surjektivität
  • Funktion
  • Beschränktheit von Funktionen
  • Beschränktheit nach oben (Funktionen)
  • Beschränktheit nach unten (Funktionen)
• Referenz: Mathegrundlagen

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Aufgabe: Surjektive Funktionen deren Bild die reellen Zahlen sind, sind nicht beschränkt

Sei surjektiv. Dann gilt, dass weder nach oben noch nach unten beschränkt ist.

Beweis

Da surjektiv ist, ist . Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Angenommen, wäre nach oben beschränkt. Dann gibt es ein sodass .

Da die reellen Zahlen selber nicht beschränkt sind, gibt es ein mit .

Da surjektiv ist, gibt es ein mit .

Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass durch nach oben beschränkt ist.

Der Beweis zur Beschränktheit nach unten folgt äquivalent.