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Sei ein beliebiges Intervall.
Dann gilt:
ist ein abgeschlossenes Intervall Für alle mit gibt es eine Teilfolge mit .
Beweis
1. Teil:
Sei ein abgeschlossenes Intervall.
Sei eine Folge von Zahlen in .
Dann ist mindestens durch und beschränkt. Mit dem Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß gilt daher, dass eine konvergente Teilfolge enthält.
Da , gilt mit Aufgabe 13.4.2 auch und damit , was zu zeigen war.
2. Teil:
Wir führen den Beweis durch Widerspruch. Sei hierzu ein nicht-abgeschlossenes Intervall.
Teil 2.1: Sei ein uneigentliches Intervall
Ist ein uneigentliches Intervall, dann ist unbeschränkt. Daher können wir uns stets eine divergente Folge konstruieren.
Beispielsweise wie folgt: Sei eine Folge mit .
Da nicht beschränkt ist, ist auch keine Teilfolge von beschränkt. Mit Proposition 13.2.7 folgt, dass keine konvergenten Teilfolgen besitzt.
Ist also ein uneigentliches Intervall, können wir stets eine Folge konstruieren, die keine konvergenten Teilfolgen hat.
Teil 2.2: Sei ein offenes oder halboffenes Intervall
Dann ist von der Form: , oder und es gilt und .
Außerdem gilt für die offenen und halboffenen Intervalle:
Mit Lemma 15.2.1 1.) und Lemma 15.2.1 2.) gibt es aber stets Folgen in , die gegen und konvergieren. Mit Proposition 13.2.4 gilt, dass auch alle ihre Teilfolgen gegen bzw. konvergieren.
Somit gibt es also Folgen, deren Teilfolgen gegen einen Grenzwert konvergieren, der nicht in liegt.
Teil 2.3: Schluss
kann also weder ein uneigentliches, offenes noch halboffenes Intervall sein. Es bleibt nur, dass ein Abgeschlossenes Intervall Intervall ist.