Aufgabe - Grenzwert-Verhalten und Ungleichung

• Involvierte Definitionen:
  • Ungleichung
  • Grenzwert
  • Folge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

Aufgabe: Grenzwert-Verhalten und Ungleichung

Seien . Sei eine konvergente Folge.

Gilt für fast alle Glieder von : , dann folgt

Beweis

• Die Folge konvergiert gegen .
• Die konstante Folge konvergiert gegen .
• Die konstante Folge konvergiert gegen .

Es folgt:

• Da für fast alle Glieder von , gilt mit dem Vergleichssatz: .
• Da für fast alle Glieder von , gilt mit dem Vergleichssatz: .

Sei eine konvergente Folge. Sei . O.b.d.A. nehmen wir an, dass . Es gelte für fast alle Glieder von : .

Wir konstruieren uns zunächst zwei neue Folgen:

Mit Aufgabe 13.1.4 gilt

Das heißt, für fast alle Glieder gilt .

Durch Umstellen folgt:

was zu zeigen war.