Aufgabe - Der Raum der konvergenten Folgen ist ein Unterraum des Folgenraums

• Bewiesen durch:
  • Unterraumkriterium
  • Aufgabe 13.4.2
• Involvierte Definitionen:
  • Folgenraum
  • Konvergenter Folgenraum
  • Unterraum
• Referenz: Mathegrundlagen

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Aufgabe: Der Raum der konvergenten Folgen ist ein Unterraum des Folgenraums

Sei der -Vektorraum der reellen Folgen, und sei die Menge der konvergenten Folgen.

Dann ist ein Unterraum von .

Beweis

Nach dem Unterraumkriterium ist zu zeigen,

1. . Sei . Dann konvergiert . Siehe dazu auch Beispiel 13.1.11 1).
2. . Seien zwei konvergente Folgen. Mit Proposition 13.4.12 konvergiert auch und damit .
3. . Sei eine konvergente Folge und . Mit Proposition 13.4.12 konvergiert auch und damit .

Mit dem Unterraumkriterium folgt, dass ein UVR von ist, was zu zeigen war.