Proposition - Unterraumkriterium

• Bewiesen durch:
  • Rechenregeln in Vektorräumen
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Unterräume

Proposition: Unterraumkriterium

Sei ein Vektorraum über und . Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. ist ein Unterraum von
2. Es gelten folgende Regeln:

• Das Nullelement aus liegt in

Beweis

Sei ein Unterraum des Vektorraums über einem Körper . Das heißt nach der Definition eines Unterraums, dass ein Vektorraum ist.

Das heißt:

• Die Addition hat ein neutrales Element und da dieses stets eindeutig ist, muss (erster Punkt )
• Die Addition ist definiert (zweiter Punkt )
• Die Skalarmultiplikation ist definiert (dritter Punkt )

Sei und dass:

• das Nullelement aus lieg in

Da wie in definiert ist, gilt, dass

• Kommutativ ist,
• Assoziativ ist

Da und (siehe Rechenregeln in Vektorräumen, ist gilt außerdem, dass :

• inverse Elemente hat

Da gilt außerdem, dass

• ein neutrales Element hat

Da wir den Körper nicht eingeschränkt haben, und aus ist, gilt:

• Assoziativität
• Neutrales Element

Die Distributivgesetze gelten ebenfalls die Axiome des Körpers