Proposition - Lineare Hüllen sind Unterräume

• Bewiesen durch:
  • Unterraumkriterium
• Involvierte Definitionen:
  • Unterraum
  • Linearkombination
• Referenz:

Proposition: Lineare Hüllen sind Unterräume

Sei ein Vektorraum über . Wenn , dann ist ein Unterraum von .

Beweis

Wenn , dann ist . Das neutrale Element ist immer ein Unterraum von , daher ist auch ein Unterraum von .

Sei nun . Dann gibt es Vektoren Es ist zu zeigen, dass für beliebige ein Vektorraum ist. Wir verfahren nach dem Unterraumkriterium.

1. Seien alle mit , dann ist das Nullelement
2. Seien und . Dann ist . Das ist aber auch wieder nur die Summe zweier Linearkombinationen, somit selbst eine Linearkombination und damit Element von .
3. Sei und mit . Dann ist was auch nur eine Linearkombination ist und damit Element von .

Nach dem Unterraumkriterium gilt die Behauptung.