Definition - Unterraum

• Beispiele:
  • Lineare Hülle
    • denn Lineare Hüllen sind Unterräume
  • Bild einer linearen Abbildung
    • denn Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Unterraum des Wertbereiches
  • Kern einer linearen Abbildung
    • denn Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Unterraum des Definitionsbereiches
  • Konvergenter Folgenraum
  • Eigenraum
  • Affiner Raum
• Konstrukte:
  • Addition von Unterräumen
  • Affiner Raum
• Eigenschaften:
  • Proposition - Durchschnitt von Unterräumen ist ein Unterraum
  • Proposition - Addition von Unterräumen erzeugt einen Unterraum
  • Proposition - Vereinigung von Unterräumen erzeugt keinen Unterraum
  • Korollar - Dimensionsformel für Unterräume
  • Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt
• Hinreichende Aussagen:
  • Proposition - Unterraumkriterium
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Unterräume

Definition: Unterraum von

Sei eine nichtleere () Teilmenge eines -Vektorraums .

heißt Unterraum von , wenn es mit den spezifischen Definitionen der Addition und der Skalarmultiplikation von einen Vektorraum bildet.

Anmerkung

Vereinigung von Unterräumen

In der Regel gilt, dass Unterräume nicht gegenüber der Vereinigung abgeschlossen sind.

Es gilt immer:

Es ist ganz wichtig, dass . Sonst klappt es nie!

Notation

Metin notiert Unterräume auch wie folgt: