Proposition - Rang der Komposition linearer Abbildungen ist kleiner-gleich der Rang der Funktionen

• Bewiesen durch:
  • Dimensionsformel für Unterräume
  • Rangsatz
• Involvierte Definitionen:
  • Rang einer linearen Abbildung
  • Homomorphismus
  • Unterraum
  • Kern einer linearen Abbildung
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz

Proposition 8.3.22: Rang der Komposition linearer Abbildungen

Seien und endlich erzeugte -Vektorräume. Seien und lineare Abbildungen.

Dann gilt:

Beweis

1.

Hierzu zeigen wir, dass ein Unterraum von ist. Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt dann nämlich, dass .

Wir wissen bereits, dass das Bild ein Vektorraum ist. Es bleibt also nur noch die Teilmengen Beziehung zu zeigen.

Sei hierzu . Dann gibt es ein , so dass .

Damit ist ein Urbild von (unter ) und es gilt .

Es folgt also tatsächlich, dass ein Unterraum von ist

Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt, die Behauptung .

2.

Hierzu zeigen wir, dass ein Unterraum von ist.

Sei dazu . Dann gilt . Und damit .

ist also tatsächlich ein Unterraum von .

Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt nun, dass

Und mit dem Rangsatz gilt abschließend

was zu zeigen war.