Proposition - Addition von Unterräumen erzeugt einen Unterraum

Definition: Addition von Unterräumen

Sei ein Vektorraum über . Seien und Unterräume von .

Die Summe ist die Menge

Dass es sich bei der Menge auch um einen Vektorraum handelt, zeigt die folgende Proposition:

Proposition: ist ein Vektorraum

Sei ein Vektorraum über . Seien und Unterräume von .

Dann ist ein Vektorraum von .

Beweis

Seien und Unterräume eines Vektorraums über .

Wir zeigen nach dem Unterraumkriterium, dass ein Vektorraum ist.

1. Da , und , ist .

2. Seien beliebig. So gibt es und mit und . Dann gibt es auch und mit . Dann gilt:

   Da ist

3. Seien und . Dann gilt mit . Da und Unterräume sind, gilt Mit dem Unterraumkriterium folgt die Behauptung.