Definition - Vektorraum

• Typen:
  • Unterraum
  • Nullvektorraum
  • Prähilbertraum (Vektorraum mit Skalarprodukt)
  • Halbraum
• Beispiele:
  • Vektorraum der Polynome
  • Definition - Vektorraum der Spalten k-hoch-n
  • Mehrdimensionaler Raum der reellen Zahlen
  • Menge der mxn Matrizen über K
  • Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme
  • Definition - Vektorraum der linearen Abbildungen
  • Kern einer Matrix
  • Kern einer linearen Abbildung
  • Bild einer linearen Abbildung
  • Bild einer Matrix
  • Lineare Hülle
• Konstrukte:
  • Vektor
  • System von Vektoren
  • Vektornorm
  • Dimension
  • Lineare Abbildung
  • Affine Abbildung
• Eigenschaften:
  • Rechenregeln in Vektorräumen
  • Zusammenhang der Basen des Vektorraums, des Kerns und des Bildes
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Vektoren,
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Lineare Unabhängigkeit

Definition: -Vektorraum

Sei ein Körper. Ein -Vektorraum ist eine Menge mit den Verknüpfungen Vektoraddition und Skalarmultiplikation sowie den Distributivgesetzen.

muss nicht gelten, es darf auch sein

Vektoraddition

1. Kommutativität
2. Assoziativität
3. Neutrales Element
4. Inverses Element

Skalarmultiplikation

1. Assoziativität
2. Neutrales Element

Distributivgesetze

Anmerkung

Wenn wir sagen, dass ein Vektorraum über ist, dann gilt

Achtung: Skalarprodukt

Im Allgemeinen ist in Vektorräumen kein Skalarprodukt festgelegt.

Namensschema/Notation

• Statt -Vektorraum sagen wir auch Vektorraum über .
• Ist , wird auch reeller Vektorraum genannt.
• Die Elemente in werden Vektoren genannt
• Die Elemente in werden Skalare genannt
• Das zu inverse Element bezeichnen wir als und es gilt
• Statt mit , schreiben wir auch einfach

Beispiele

Unterräume

Auch Unterräume sind Vektorräume. Siehe Unterraum

Der Vektorraum

Sei und sei die Lösungsmenge des homogenen LGS über .

Von unser Betrachtung der Struktur der Lösungsmenge homogener LGS wissen wir, dass eine Linearkombination linear unabhängiger Spalten ist. Damit ist eine Teilmenge von .

Es bleibt zu zeigen, dass ein Vektorraum über ist. Hierzu müssen wir zeigen, es gibt:

• Vektoraddition mit:
  • Kommutativität,
  • Assoziativität,
  • neutralem Element,
  • inversem Element
• Skalarmultiplikation mit:
  • Assoziativität
  • Neutralem Element
• Distributivgesetze

Beweis: ist ein Vektorraum

Vektoraddition in

Wir definieren Vektoraddition wie folgt:

Seien . Sei Dann gilt

Die Definition von hält also.

Kommutativität und Assoziativität von in

Hier verhalten sich wie Vektoren in .

Neutrales Element von in

Es gilt , daher ist ebenfalls ein Element von und der Rest verhält sich wie in .

Inverses Element von in

Sei und , dann gilt auch . Sei , dann gilt auch und .

Skalarmultiplikation in

Da , gelten dieselben Regeln wie in .

Distributivgesetze in

Verhält sich wie in .

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Die Vektorräume

Sei ein Körper und seien . Dann ist ein -Vektorraum.

Seien , dann gilt:

Sowie mit :

Und letztlich:

Die Vektorräume

Sei ein Körper und sei . Mit bezeichnen wir , also die Menge der Spalten (Matrizen mit nur einer Spalte) mit Einträgen in .

Bei handelt es sich also um einen Spezialfall des Vektorraums

Die Vektorräume

Auch ist ein Körper.

Seien , dann gilt:

Sowie mit :

Und letztlich: