Algorithmus - Wie man zeigen kann, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt

• Involvierte Definitionen:
  • Erzeugendensystem
  • Vektorraum
• Referenz:
  • Studientag 1, 2022
  • = Math. Grundlagen EA2
  • Mathegrundlagen

Algorithmus: Wie man zeigen kann, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt

Sei eine Mengen von Vektoren aus dem Vektorraum . Es ist zu zeigen, dass .

1. Teil: ist eine Teilmenge von

Zuerst müssen wir zeigen, dass die Vektoren aus auch in liegen. Das ist in der Regel offensichtlich. Wenn es offensichtlich ist, reicht es, wenn wir einfach schreiben, dass es so ist.

2. Teil: Erzeugt wirklich ?

Hierzu können wir wie folgt vorgehen:

1. Zuallererst nehmen wir uns ein beliebiges . Die Werte füllen wir mit Variablen, bspw.
2. Wir bilden eine Linearkombination von (das ist genau die Definition der linearen Hülle)
3. Wir komprimieren die Linearkombination in einen einzigen Vektor, nennen wir den mal
4. Jetzt erstellen wir uns ein LGS. Dazu können wir und “ausrollen”
5. Nun müssen wir nur noch das LGS lösen, die Lösung aufschreiben und wir sind fertig

Damit es konkreter wird, gibt es direkt zwei Beispiele

Beispiele

Beispiel 1: Matrix-Beispiel

Sei

Zeigen Sie, dass ein EZS von ist.

1. Teil: ist eine Teilmenge von

Offensichtlich liegen die Matrizen von in .

2. Teil: Erzeugt wirklich ?

1. beliebiges wählen

Sei beliebig mit:

2. + 3. Linearkombination von bilden und komprimieren

Es ist zu zeigen, dass .

Dann gibt es Koeffizienten , so dass

Und es muss gelten:

4. LGS erstellen

Jetzt “rollen” wir die Matrizen aus, also

und

Diese “ausgerollten” Matrizen helfen uns, das LGS zu definieren. Wir haben jetzt nämlich vier Gleichungen:

Hieraus können wir einfach die erweiterte Koeffizientenmatrix bilden:

5. LGS lösen und Lösung aufschreiben

Wir führen jetzt noch den Gaußalgorithmus durch:

Es gilt offensichtlich und damit gibt es genau eine Lösung wie folgt:

Beispiel 2: Polynom-Beispiel

Sei der Vektorraum der Polynome vom Grad über . Seien

und Beweisen Sie, dass ein Erzeugendensystem von ist.

1. Teil: ist eine Teilmenge von

Offensichtlich liegen die Polynome von in . Sie haben alle einen Grad .

2. Teil: Erzeugt wirklich ?

1. beliebiges wählen

Sei beliebig mit:

2. + 3. Linearkombination von bilden und komprimieren

Es ist zu zeigen, dass Dann gibt es Koeffizienten, so dass , also

Das können wir jetzt noch ordnen:

Und es ist zu zeigen, dass gilt:

4. LGS erstellen

Jetzt können wir uns wieder ein LGS mit vier Gleichungen erstellen

Als erweiterte Koeffizientenmatrix erhalten wir also:

5. LGS lösen und Lösung aufschreiben

Wir führen jetzt den Gaußalgorithmus durch:

Es gilt , damit gibt es genau eine Lösung , so dass