Definition - Lineares Gleichungssystem

• Lösungsmenge entspricht in der konkreten linearen Algebra:

  • der Menge der Urbilder eines Vektors
    • siehe Proposition 9.2.1

• Beispiele:

  • Umschreiben von Gleichungen in LGS

• Konstrukte:

  • Lösung eines LGS
  • Inhomogenität
  • Homogenität
    • Definition - Das zugehörige homogene LGS
  • Eigenwert / Eigenvektor

• Generalisierungen:

  • Erweiterte Koeffizientenmatrix

• Eigenschaften:

  • Die erweiterte Koeffizientenmatrix homogener LGS ist zeilenäquivalent zu ihrer TNF
  • Aussagen über die Lösungsmenge/Lösbarkeit
    • Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
    • Invarianz der Lösungsmenge bzgl. inverser Matrizen
    • Invarianz der Lösungsmenge bzgl. zeilenäquivalenter Matrizen
    • Die Lösungsmenge U des homogenen LGS generiert L
    • Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme
    • Struktur der Lösungsmenge homogener LGS
  • Merkregeln zur Ermittlung der Lösungsmenge
    • Lösung eines LGS per Treppennormalform
    • Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS
    • Algorithmus zur Berechnung der Lösungsmenge eines LGS

• Referenz:

  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Lineare Gleichungssysteme
  • Mathegrundlagen

Definition 5.1.1: Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) über mit

• Zeilen und
• Unbestimmten hat die Form

mit den Werten für alle und

Definition: LGS Als Matrizenprodukt

Wir nennen die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems.

Seien und

Dann schreiben das lineare Gleichungssystem als Matrizenprodukt wie folgt: