Definition - Lösung eines LGS

• Eigenschaften:
  • Aussagen über die Lösungsmenge/Lösbarkeit
    • Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
    • Invarianz der Lösungsmenge bzgl. inverser Matrizen
    • Invarianz der Lösungsmenge bzgl. zeilenäquivalenter Matrizen
    • Die Lösungsmenge U des homogenen LGS generiert L
    • Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme
    • Struktur der Lösungsmenge homogener LGS
    • Korollar - Kern(f) ist isomorph zu der Lösungsmenge des homogenen LGS
  • Merkregeln zur Ermittlung
    • Einzelne Lösung
      • Lösung eines LGS per Treppennormalform
      • Lösung eines LGS per Dreiecksmatrix
      • Lösung eines LGS per LU-Zerlegung
    • Lösungsmenge
      • Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS
      • Algorithmus zur Berechnung der Lösungsmenge eines LGS
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Lineare Gleichungssysteme
  • Mathegrundlagen

Namensschema

Wir bezeichnen mit

• die Menge aller Lösungen eines LGS
• die Menge aller Lösungen des zugehörigen homogenen LGS
• die erweiterte Koeffizientenmatrix

Definition 5.1.2: Lösung eines LGS

Lösungen des linearen Gleichungssystems sind mit

so dass

Lösungstypen linearer Gleichungssysteme

LGS ohne Lösung

Wenn ein LGS ist, dann hat dieses nicht zwangsläufig Lösungen.

Beispielsweise gibt es für das LGS

keine Lösung , das die Gleichung erfüllt.

LGS mit genau einer Lösung

Manchmal haben LGS genau eine Lösung, wie beispielsweise hier:

Hier gibt es genau eine Lösung

LGS mit mehreren Lösungen

Manchmal haben LGS aber auch mehr als eine Lösung, wie etwa in dem nächsten Beispiel:

Allgemein gilt hier: , denn

Das heißt, das LGS hat sogar unendlich viele Lösungen.