Proposition - Algorithmus zur Berechnung der Lösungsmenge eines LGS

• Bewiesen durch:
  • Proposition 5.2.1
  • Korollar 5.2.8
  • Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Struktur d. Lösungsmenge von LGS

Dass die Lösungsmenge direkt mit der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS verknüpft ist, haben wir bereits in dem Abschnitt Proposition 5.2.1 gesehen.

Es gilt:

Wie wir eine konkrete Lösung berechnen können, haben wir in Korollar 5.2.8 herausgefunden.

Um berechnen zu können fehlt uns jetzt nur noch die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS - und wie das funktioniert, zeige ich in Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS.

Der Einfachheit halber, notiere ich den kompletten Algorithmus hier:

Algorithmus zur Berechnung der Lösungsmenge

1. Berechne die TNF von . Ist so ist auch keine Lösung.
2. Streiche alle Nullzeilen von
3. Nullzeilen unten an anfügen, sodass die Matrix quadratisch wird und die Pivot-Positionen zu Diagonalelementen werden
4. Rechts des Striches der erweiterten Koeffizientenmatrix steht eine spezielle Lösung für
5. Ersetze die in Schritt 2 eingefügten die Nullelemente auf der Diagonalen durch
6. Die (zueinander orthogonalen) Spalten (die wir gerade in Schritt 4 bearbeitet haben) ergeben die Lösungsmenge des homogenen LGS:
7. Die gesamte Lösung erhalten wir dann als

Beweis

Siehe

• Proposition 5.2.1
• Korollar 5.2.8
• Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS