Definition - Treppennormalform

• Konstrukte:
  • Treppennormalform zu A
  • Pivot-Position
  • Gaußalgorithmus
  • Rang einer Matrix
• Generalisierungen:
  • (obere) Dreiecksmatrix
• Eigenschaften:
  • TNF und inverse Matrix
  • Theorem - Eindeutigkeit der Treppennormalform
• Hinreichende Aussagen:
  • Gaußalgorithmus
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Treppennormalform

Die Definition der Treppennormalform gibt Regeln an, anhand derer entschieden werden kann, ob eine Matrix in Treppennormalform ist:

Definition: Die Treppennormalform

Wir sagen, dass eine Matrix in Treppennormalform ist, wenn entweder

• die Nullmatrix ist oder:

• es sogenannte ausgezeichnete Spaltenindizes gibt, sodass für alle gilt:

  1. Pivot-Positionen sind 1
  2. Alle andere Einträge in einer Spalte mit Pivot sind 0 für alle
  3. Alle Einträge links einer Pivot-Position sind 0 für alle
  4. Alle Zeile unter der letzten Pivot-Position sind Null für alle und alle

Anmerkung

WARNING

Die ausgezeichneten Spaltenindizes bilden gemeinsam mit ihrem Index (also ) die sogenannten Pivot-Positionen

Notation

Treppennormalform kürzen wir häufig TNF ab

Beispiel-Rechnung

Sei :

Auszeichnen von Spaltenindizes

Als ersten Schritt müssen wir eine Folge von Spaltenindizes auszeichnen, sodass (nach Definition) gilt: mit

Wir wählen (wie im Skript) die Folge:

Erste Regel

Aus der ersten Regel () folgt: Also:

Zweite Regel

Aus der zweiten Regel (, ) folgt: Also:

Dritte Regel (Alle Einträge links von einer 1 sind 0)

(wir erinnern uns: ) Aus der dritten Regel (, ) folgt:

Also:

Vierte Regel (Alle Zeilen unter der letzten 1 sind 0)

für alle und alle Es folgt:

Also:

Ende

Das war es mit der Definition. Die verbleibenden sind beliebige Körperelemente.