Algorithmus - Eigenraum zu dem Eigenwert einer Matrix berechnen

• Bewiesen durch:
  • Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS
• Involvierte Definitionen:
  • Eigenraum
  • Eigenvektor
  • Eigenwert
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: Eigener Inhalt

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Algorithmus: Eigenraum zu dem Eigenwert einer Matrix berechnen

Um den Eigenraum zu dem Eigenwert einer Matrix zu berechnen, müssen wir nur das homogene lineare Gleichungssystem lösen.

Wie das geht, haben wir bereits in Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS gezeigt.

Beispiel

In der Notiz Eigenwerte einer Matrix berechnen haben wir bereits die Eigenwerte der Matrix¹

berechnet. Nämlich:

Wir wollen jetzt noch den Eigenraum von berechnen, also .

Berechnung des Eigenraums.

Um den Eigenraum zu berechnen, müssen wir also das LGS

lösen. Wir nutzen die Merkregel zur Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS.

Hierzu stellen wir zunächst die Erweiterte Koeffizientenmatrix auf:

und bilden die Treppennormalform mittels Gaußalgorithmus. (Da es hier um ein homogenes LGS geht, könnten wir uns das eigentlich auch sparen und hier bloß mit rechnen. Aber die Gewohnheit…) Es gilt:

Als TNF zu haben wir also erhalten. Nach der Merkregel ersetzen wir jetzt noch die in der dritten Spalte durch eine und erhalten als Lösungsmenge:

Das ist jetzt tatsächlich schon der Eigenraum des Eigenwertes . Um jetzt einen konkreten Eigenvektor zu zu erhalten, müssen wir einfach einen Wert für wählen. Machen wir uns das leben ganz einfach und wählen dann wäre

bereits ein passender Eigenvektor.

Footnotes

1. übernommen von @scherer2023 ↩