Involvierte Definitionen:Veranstaltung: MatheDSReferenz: Eigener Inhalt
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Algorithmus: Matrix diagonalisieren
Um eine Matrix
zu diagonalisieren, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:
- Eigenwerte der Matrix berechnen.
- Die diagonale Matrix zu
erhalten wir jetzt schon als , wobei . - Gibt es weniger als
Eigenwerte, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Die Matrix
, für die gilt, erhalten wir jetzt noch wie folgt:
- Zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums berechnen.
- Wähle die Vektoren der gerade berechneten, verschiedenen Basen und wähle diese als Spalten für die Matrix
. - Damit sind wir fertig.
Anmerkung
Definition: Diagonalisierung einer Matrix
Sei
eine diagonalisierbare Matrix. Als Diagonalisierung von
bezeichnen wir die Wahl der Matrizen und , sodass Wobei
nach Proposition die Eigenwerte von enthält, also und wiederum die Eigenvektoren bzgl. der als Spaltenvektoren enthält.
Achtung:
ist nicht immer invertierbar. Wenn Eigenwerte mehrfach auftreten (also algebraische Vielfachheit
), dann hat manche Spalten doppelt. Wenn manche Spalten doppelt sind, dann sind sie auch linear abhängig - und damit ist
nicht mehr invertierbar!
Orthogonal diagonalisieren?
Um eine Matrix orthogonal diagonalisieren, siehe:
Beispiel
- To-do