Algorithmus - Eigenwerte einer Matrix berechnen

• Bewiesen durch:
  • Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms
• Involvierte Definitionen:
  • Eigenwert
  • Charakteristisches Polynom
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: Eigener Inhalt

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Algorithmus: Eigenwerte einer Matrix berechnen

Nach der Proposition Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms können wir die Eigenwerte durch die folgenden Schritte berechnen:

• Charakteristisches Polynom berechnen.
• Nullstellen des charakteristischen Polynoms bilden.

Beispiel

Das Beispiel habe ich von @scherer2023 übernommen.

Sei

Charakteristisches Polynom berechnen

Zunächst berechnen wir das Charakteristische Polynom . Es gilt:

Da es sich um eine Matrix handelt, können wir zur Berechnung der Determinante an dieser Stelle die Regel von Sarrus nutzen.

Wir schreiben die Matrix dazu noch einmal auf:

mithilfe der Regel von Sarrus gilt nun:

Nullstellen der Determinante berechnen

Im vorigen Schritt haben wir die Determinante wie folgt berechnet:

Von diesem Ausdruck können wir jetzt super einfach die Nullstellen finden, in dem wir jeden der einzelnen Faktoren jeweils einmal Null setzen.

Wir finden also:

Nach der Proposition Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte von .