Definition - Eigenwert

• Konstrukte:
  • Geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts
  • Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes
  • Spektralnorm
  • Eigenvektor
  • Spektrum
  • Eigenraum
  • Stationäre Verteilung durch Eigenwertproblem
• Eigenschaften:
  • Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms
  • Zusammenhang zwischen Diagonalmatrix und Eigenwerten einer diagonalisierbaren Matrix
  • Symmetrische Matrix ist positiv definit iff Eigenwerte sind echt größer als 0
  • Symmetrische Matrix ist positiv semidefinit iff Eigenwerte sind größer-gleich 0
• Hinreichende Aussagen:
  • Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte
  • Eigenwerte einer Matrix berechnen
  • Zusammenhang zwischen Diagonalmatrix und Eigenwerten einer diagonalisierbaren Matrix
  • Zusammenhang zwischen Diagonalmatrix und Eigenvektoren
• Charakterisierungen:
  • Bestimmung von Eigenwerten durch charakteristisches Polynom
• Involvierte Definitionen:
  • Quadratische Matrix
  • LGS
  • Vektor
  • Eigenvektor
  • Einheitsmatrix
• Veranstaltung: AlMa, MatheDS
• Referenz: @herzogWiSe22, @riedel2023

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Definition: Eigenwert

Sei eine quadratische Matrix.

Wir bezeichnen als Eigenwert von , wenn ein entsprechender Vektor mit existiert, sodass

Anmerkung

Merke:

kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor!

Interpretation

Der Eigenwert ist also der “Streckungs-” oder “Stauchungsfaktor”, den der Eigenvektor durch Multiplikation mit der Matrix erfährt.