Definition - Determinante einer Matrix

• Konstrukte:
  • Unterdeterminante
  • Minor einer Matrix
  • Kofaktor
  • Charakteristisches Polynom
• Eigenschaften:
  • Zeilenvertauschung dreht das Vorzeichen der Determinante um
  • Determinante ist invariant gegenüber Zeilenaddition
  • Zeilenmultiplikation multipliziert auch Determinante
  • Multiplikationsgesetz der Determinante
  • Determinante Rechenregeln für invertierbare Matrizen
  • Ist eine Dreiecksmatrix, dann ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalen:
  • Determinante der Einheitsmatrix ist
• Hinreichende Aussagen:
  • Regel von Sarrus (für und Matrizen)
  • Laplace’scher Entwicklungssatz (für beliebige )
  • Berechnung per Gaußalgorithmus (für beliebige )
  • Berechnung der Determinante einer Blockdiagonalmatrix
• Charakterisierungen:
  • Determinante gibt das Volumen des aufgespannten Parallelotops an
  • Spalten sind linear abhängig genau dann wenn die Determinante ist Null
  • Spalten sind linear unabhängig gdw Determinante ist ungleich Null
  • Matrix ist invertierbar gdw Determinante ist ungleich Null
• Involvierte Definitionen:
  • Quadratische Matrix
  • Dreiecksmatrix
  • Untermatrix
• Veranstaltung: AlMa, MatheDS
• Referenz: @herzogWiSe22, @riedel2023

⠀

Definition: Determinante einer Matrix

Die Determinante (auch ) ordnet jeder quadratischen Matrix eine reelle Zahl zu.

Wir definieren sie rekursiv wie folgt:

falls eine Matrix mit ist, so setzen wir:

falls eine Matrix ist () und die Determinante der Untermatrix bereits bekannt sind, so setzen wir:

Anmerkung

Beispiel: Matrix

Sei

Dann gilt:

Beispiel: Matrix

Sei

Dann gilt: