Proposition - Spalten sind linear abhängig gdw Determinante ist Null

• Bewiesen durch:
  • Determinante gibt das Volumen des aufgespannten Parallelotops an
• Involvierte Definitionen:
  • Determinante einer Matrix
  • Lineare Abhängigkeit
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: @herzogWiSe22

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Proposition: Spalten sind nicht linear unabhängig Determinante ist Null

Sei eine quadratische Matrix mit Spaltenvektoren .

Es gilt:

ä

Beweis

Wir haben bereits festgestellt, dass die Determinante das Volumen des aufgespannten Parallelotops angibt.

Ist das Volumen dieses Parallelotops , so ist mindestens eine der Dimensionen, wir bezeichnen sie mit , ausgelöscht (also ).

Das heißt: ist beispielsweise , so wäre der aufgespannte Körper kein (schiefer) Quader mehr, sondern nur noch ein Strich.

Im Sinne der linearen Unabhängigkeit können wir nun den -ten Koeffizienten (also ) der Linearkombination beliebig wählen und dennoch eine Darstellung des Nullvektors erhalten.

Damit ist diese Darstellung nicht-trivial und es folgt, dass linear abhängig sind.