Definition - Lineare Abhängigkeit

• Hinreichende Aussagen:
  • Der Nullvektor ist immer linear abhängig.
  • Proposition - Vektoren sind linear abhängig iff es gibt einen Vektor der durch die übrigen erzeugt werden kann
  • Lineare Abhängigkeit durch das Erzeugendensystem
  • Proposition - Spalten sind linear abhängig gdw Determinante ist Null
• Charakterisierungen:
  • Proposition - Vektoren sind linear abhängig iff es gibt einen Vektor der durch die übrigen erzeugt werden kann
• Involvierte Definitionen:
  • Linearkombination
  • Nicht-triviale Darstellung des Nullvektors
  • Triviale Darstellung des Nullvektors
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Lineare Unabhängigkeit

Definition: Lineare Abhängigkeit

Sei ein -Vektorraum. Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn

Es also eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors durch gibt.

Anmerkung

Merkregel: Lineare Abhängigkeit

• Ein einziger Vektor ist also linear abhängig (von/zu sich selbst) wenn er der Nullvektor ist (denn , siehe Lineare Hülle).
• Eine Menge von zwei Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist