Proposition - Vektoren sind linear abhängig iff es gibt einen Vektor der durch die übrigen erzeugt werden kann

• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abhängigkeit
    • Nicht-triviale Darstellung des Nullvektors
  • Lineare Hülle
  • Linearkombination
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Lineare Unabhängigkeit

Proposition: Vektoren sind linear abhängig ein Vektor kann durch die übrigen erzeugt werden

Sei ein -Vektorraum und seien .

sind genau dann linear abhängig, wenn

Das heißt, es gibt einen Vektor , der aus einer Linearkombination der übrigen Vektoren gebildet werden kann

Beweis

Seien linear abhängig.

Dann gibt es eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors

Sei ein Koeffizient mit , dann können wir auch schreiben

Dann gilt, dass eine Linearkombination von ist, .

Sei und . Dann gibt es Skalare , sodass

Dann ist eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors, sind also linear abhängig.