Definition - Mehrdimensionale Normalverteilung

• Konstrukte:
  • Normalverteilung
  • Gaußsches Produktmodell
• Generalisierungen:
  • Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte
  • Verteilung eines Zufallsvektors
  • k-faches Produkt einer Verteilung
• Eigenschaften:
  • Erwartungswert der mehrdimensionalen Normalverteilung
  • Kovarianz der mehrdimensionalen Normalverteilung
  • Komponenten der mehrdimensionalen Normalverteilung sind normalverteilt
    • Linearkombinationen der Komponenten der mehrdimensionalen Normalverteilung sind normalverteilt
  • Studentisierung von Realisierungen normalverteilter Zufallsvariablen
• Hinreichende Bedingungen:
  • Konstruktion eines mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektors
  • Konstruktion eines mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektors durch standardnormalverteilte Zufallsvariablen
• Involvierte Definitionen:
  • Erwartungswertvektor
  • Kovarianzmatrix
    • Symmetrische Matrix
    • Positiv-definite Matrix
  • Zufallsvektor
  • Determinante
  • Transponierte Matrix
  • Skalarprodukt
• Veranstaltung:
  • MatheDS
  • EiS
• Referenz: @henze2019, @riedel2023

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Definition: Mehrdimensionale Normalverteilung

Sei ein Vektor (hier auch Erwartungswertvektor).
Sei eine symmetrisch und positiv-definite Matrix (hier auch Kovarianzmatrix).

Wir bezeichnen den Zufallsvektor als (nicht-ausgeartet) -dimensional normalverteilt , wenn folgende Dichte besitzt:

Anmerkung

Illustration

Die folgende Abbildung zeigt die Dichte einer -dimensionalen Normalverteilung mit und :

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Footnotes

1. @henze2019 ↩