Typen:Konstrukte:Generalisierungen:Eigenschaften:- Additionsgesetz des Skalarproduktes
- Skalarprodukt ist eingeschränkt homogen
- Komplexe Konjugation des Skalarproduktes
- Vektorprojektion mit dem Skalarprodukt
- Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst
- Zusammenhang von Skalarprodukt und Vektornorm
- Partielle Ableitung des Skalarproduktes
- Darstellung eines Vektors durch Skalarprodukt-Linearkombination
Charakterisierungen:Involvierte Definitionen:Veranstaltung: AlMa, MatheDSReferenz:- Wikipedia
- @herzogWiSe22
- @riedel2023
- @thimm2024 (Abschnitt 1.2.3)
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Definition: Reelles Skalarprodukt
Wir definieren das (reelle) Skalarprodukt (en. Dot Product)
durch
Definition: Reelles Skalarprodukt
Wir definieren das (komplexe) Skalarprodukt
durch
Anmerkung
Achtung
Im Allgemeinen ist das Skalarprodukt in Vektorräumen nicht definiert.
Skalarprodukt durch Transponierung
Handelt es sich bei
und um Vektoren bzw. Spalten von Matrizen, so erhalten wir dasselbe Ergebnis durch die Berechnung von .
Interpretation - Skalarprodukt
Seien
und zwei beliebige Vektoren. Das Skalarprodukt
liefert uns Informationen über die Lage der beiden Vektoren zueinander. Es gilt:
und stehen im rechten Winkel zueinander (man sagt auch, sie sind orthogonal). - den maximalen Wert nimmt das Skalarprodukt an, wenn
und in dieselbe Richtung zeigen. - ist das Skalarprodukt negativ, so zeigen
und in entgegengesetzte Richtungen. - Ist einer der Vektoren
und ein Einheitsvektor, so entspricht genau der Länge des Projektionsvektors des einen auf den anderen Vektors und umgekehrt.
Interpretation - Skalarprodukt als Flächeninhalt
Seien
und zwei beliebige Vektoren. Dann gilt:
entspricht dem Inhalt des von beiden Vektoren aufgespannten Hyperrechtecks.