Proposition - Funktion ist konvex gdw Differenz zweier Punkte ist größer gleich Skalarprodukt der Differenz der Punkte und dem Gradienten

• Involvierte Definitionen:
  • Konvexe Funktion
  • Skalarprodukt
  • Gradient
  • Offene Menge
  • Konvexe Menge
  • Differenzierbarkeit einer Funktion
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Proposition: Funktion ist konvex Differenz zweier Punkte ist größer gleich Skalarprodukt der Differenz der Punkte und dem Gradienten

Sei eine offene und konvexe Menge.
Sei eine differenzierbare Funktion.

Es gilt

ist konvex

Also genau dann, wenn der Graph der Funktion über oder auf der Tangente liegt.