Theorem - Gradient weist in die Richtung des stärksten Wachstums

• Involvierte Definitionen:
  • Offene Menge
  • Partielle Differenzierbarkeit
  • Gradient
  • Skalarprodukt
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Theorem: Gradient weist in die Richtung des stärksten Wachstums

Sei eine offene Menge.
Sei eine partiell differenzierbare Funktion.

Dann gilt:

weist in die Richtung des stärksten Wachstums von .

Anmerkung

Herleitung

Seien zwei Vektoren. Dann gilt, dass das Skalarprodukt beider Vektoren dem Cosinus des Winkels zwischen den beiden enspricht, also

Für und mit gilt damit:

Damit folgt: bewegt man sich von ein (infinitesimal) kleines Stück in Richtung , so ist der Funktionswert

• größer als , wenn ist,
• kleiner als , wenn ist,
• gleich , wenn ist.

Der Gradient ist maximal, wenn , also wenn , was dann der Fall ist, wenn gradient und in dieselbe Richtung weisen.