Theorem - Gradient ist 0 im Extremum

• Bewiesen durch:
  • Gradient weist in die Richtung des stärksten Wachstums
• Involvierte Definitionen:
  • Gradient
  • Extremum
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Offene Menge
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Theorem: Gradient ist im Extremum

Sei eine offene Menge.
Sei eine total differenzierbare Funktion.

Ist ein Extremum von , so gilt:

Anmerkung

Achtung: Die Umkehrung gilt nicht

Es gilt jedoch

Beweis

Aus einem anderen Theorem wissen wir bereits, dass der Gradient immer in die Richtung des stärksten Wachstums weist. Da die Ableitung in einem Extremum Null ist, die Ableitung aber gerade die Steigung einer Funktion angibt, gibt es auch gar keine Richtung, in die gewiesen werden könnte.

Daher ist auch der Gradient .