Proposition - Darstellung eines Vektors durch Skalarprodukt-Linearkombination

• Involvierte Definitionen:
  • Skalarprodukt
  • Linearkombination
  • Vektor
  • Orthonormalbasis
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

⠀

Proposition: Darstellung eines Vektors durch Skalarprodukt-Linearkombination

Seien eine Orthonormalbasis von .

Dann gilt:

Beweis

Nach der Proposition über die Vektorprojektion mit dem Skalarprodukt (und da ) ist der Projektionsvektor von auf .

Das heißt, der Vektor enthält genau die Komponente von , die in dieselbe Richtung zeigt wie .

Ziehen wir alle möglichen Richtungen von ab, so erhalten wir einfach den Nullvektor .

Da alle möglichen Richtungen von enthält, ist also

was zu zeigen war.