Lemma - Konstruktion eines mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektors durch standardnormalverteilte Zufallsvariablen

• Involvierte Definitionen:
  • Mehrdimensionale Normalverteilung
  • Standardnormalverteilung
  • Cholesky-Faktorisierung
  • Zufallsvektor
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Lemma: Konstruktion eines mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektors durch standardnormalverteilte Zufallsvariablen

Sei ein Zufallsvektor mit standardnormalverteilten Zufallsvariablen .

Sei der gewünschte Erwartungswertvektor.
Sei die gewünschte Kovarianzmatrix.

Dann gilt

Anmerkung

Und wie kommen wir auf die Zerlegung ?

Die Zerlegung erhalten wir durch Cholesky-Faktorisierung, die für symmetrische, positiv-definite Matrizen immer existiert.