Theorem - Cholesky-Faktorisierung

• Konstrukte:
  • Konstruktion eines mehrdimensional normalverteilten Zufallsvektors durch standardnormalverteilte Zufallsvariablen
• Generalisierungen:
  • LU-Zerlegung (es handelt sich um eine besondere LU-Zerlegung, bei der die Diagonalelemente außerdem nicht unbedingt sein müssen)
• Charakterisierungen:
  • Proposition - Matrix ist positiv definit gdw es existiert eine Cholesky-Faktorisierung
• Involvierte Definitionen:
  • Symmetrische Matrix
  • Positiv definite Matrix
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: @herzogWiSe22

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Definition: Cholesky-Faktorisierung

Sei eine symmetrische, positiv definite Matrix.

Dann existiert eine untere Dreiecksmatrix , die

• eindeutig bestimmt,
• invertierbar,
• und deren Hauptdiagonale positiv ist ( für alle )

sodass:

Konkret erhalten wir als:

Wir bezeichnen auch als die Cholesky-Matrix der Cholesky-Zerlegung.

Anmerkung

Cholesky-Faktorisierung und LU-Zerlegung

Haben wir bereits eine Cholesky-Faktorisierung mit bestimmt, so erhalten wir die LU-Zerlegung geschenkt.

Wir setzen und und sind fertig.