Theorem - LU-Zerlegung

• Typen:
  • Cholesky-Faktorisierung (hier sind die Diagonalelement jedoch nicht unbedingt )
• Eigenschaften:
  • Lösung eines LGS per LU-Zerlegung
• Hinreichende Aussagen:
  • Crouts Algorithmus
  • Cholesky-Faktorisierung
• Involvierte Definitionen:
  • Quadratische Matrix
  • Permutationsmatrix
  • Invertierbare Matrix
  • Dreiecksmatrix
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: @herzogWiSe22

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Satz: LU-Zerlegung

Sei ein Körper.
Sei eine quadratische Matrix.
Sei eine Permutationsmatrix.
Sei eine untere Dreiecksmatrix.
Sei eine obere Dreiecksmatrix.

Wir bezeichnen und als LU-Zerlegung von , falls gilt, dass

und falls außerdem

• nur Einsen in der Hauptdiagonalen hat.

Es gilt: für jede invertierbare Matrix existiert eine solche Zerlegung.

Anmerkung

Namensherkunft

Die LU-Zerlegung ist auch als LR-Zerlegung bekannt.

• LU steht für “lower” und “upper”
• LR steht für “left” und “right” (bzw. “links” und “rechts”)

Beide Begriffe bezeichnen aber dasselbe.

Nützlichkeit der LU-Zerlegung

Mithilfe der LU-Zerlegung können wir Lösungen eines LGS effizient für wechselnde Ergebnisse bestimmen.

Ohne LU-Zerlegung müssten wir wiederholt den Gauß-Algorithmus anwenden, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in Form einer Dreiecksmatrix zu bringen.

Mithilfe der LU-Zerlegung können wir die Ergebnisse direkt bestimmen, wie in Lösung eines LGS per LU-Zerlegung gezeigt.