Definition - Positiv definite Matrix

• Beispiele:
  • Empirische Kovarianzmatrix ist positiv definit
• Generalisierungen:
  • Definitheit einer Matrix
• Hinreichende Aussagen:
  • Matrix ist positiv definit gdw es existiert eine Cholesky-Faktorisierung
  • Symmetrische Matrix ist positiv definit iff Eigenwerte sind echt größer als 0
• Charakterisierungen:
  • Matrix ist positiv definit gdw es existiert eine Cholesky-Faktorisierung
  • Symmetrische Matrix ist positiv definit iff Eigenwerte sind echt größer als 0
• Involvierte Definitionen:
  • Quadratische Form
  • Symmetrische Matrix
  • Transponierung
  • siehe auch positiv-semidefinit
• Veranstaltung: AlMa, MatheDS
• Referenz: @herzogWiSe22

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Definition: Positiv Definite Matrix

Sei eine symmetrische Matrix.

Wir bezeichnen als positiv definit, falls für alle gilt:

Wobei die quadratische Form von ist.

Anmerkung

Nicht-symmetrische positiv definite Matrizen

Wir definieren positive Definitheit hier zwar nur für symmetrische Matrizen, es ist aber auch möglich, Matrizen zu finden, für die

gilt, die aber nicht symmetrisch sind. Beispielsweise: