Definition - Metrik

• Beispiele:
  • Diskrete Folgen
    • Levenshtein-Distanz
  • Zeitreihen
    • Abstandsberechnung für Zeitreihen
    • Dynamic Time Warping
  • Graphen
    • Dijkstra-Algorithmus
  • Gemischte Datenpunkte
    • Berechnung von Abstandsmaßen für gemischte Datenpunkte
  • Nominale Attribute
    • Symmetrische Nominale Distanz
    • statt Metrik: Ähnlichkeitsmaß
  • Binäre Attribute
    • Symmetrische Binäre Distanz
    • Asymmetrische Binäre Distanz
  • Ordinale Attribute
    • Rangberechnung ordinaler Attribute und dann Nutzung der Abstandsmaße für numerische Attribute
  • Numerische Attribute
    • Abstand zweier Zahlen
    • Von Norm erzeugte Metrik
    • Minkowski-Distanz
      • Manhattan Distanz
      • Euklidische Distanz
      • Maximums-Distanz
• Konstrukte:
  • Metrischer Raum
  • Agglomerative Verfahren
  • Durch Metrik induziertes Ähnlichkeitsmaß
• Generalisierungen:
  • Distanzfunktion
  • Norm
• Eigenschaften:
  • Jede Norm induziert eine Metrik
  • Fluch der Dimensionalität für Metriken
• Hinreichende Aussagen:
  • Durch Ähnlichkeitsmaß induzierte Metrik
  • Jede Norm induziert eine Metrik
• Involvierte Definitionen:
  • Positive Definitheit
  • Symmetrie
  • Dreiecksungleichung
  • siehe auch Ähnlichkeitsmaß
• Veranstaltung:
  • AlMa
  • MatheDS
  • DM
• Referenz:
  • @valdes2024 (p. 27)
  • Wikipedia

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Definition: Metrik

Sei eine Menge.

Eine Metrik ist eine Abbildung , die folgende Axiome erfüllt:

• (M1: positive Definitheit)
  
• (M2: Symmetrie)
  
• (M3: Dreiecksungleichung)
  

Anmerkung

Tipp

Aus den Axiomen M1 bis M3 folgt außerdem, dass

Denn