Proposition - Jede Norm induziert eine Metrik

• Involvierte Definitionen:
  • Norm
  • Metrik
• Veranstaltung: AlMa

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Proposition: Jede Norm induziert eine Metrik

Sei ein -Vektorraum.
Sei eine Norm.

Dann induziert die Metrik durch:

Beweis

Sei ein Vektorraum.

Es ist zu zeigen, dass jede Norm durch eine Metrik induziert.

Sei eine beliebige Norm. Seien beliebig. Sei . Dann gilt:

Beweis von M1

Seien .
Sei .

Dann gilt mit der Definitheit der Norm :

Also:

was für M1 zu zeigen war.

Beweis von M2

Seien .
Sei .

Dann gilt mit der absoluten Homogenität der Norm :

Also

was für M2 zu zeigen war.

Beweis von M3

Seien .

Mit der Erfüllung der Dreiecksungleichung durch die Norm gilt:

was für M3 zu zeigen war.

Schluss

Da die Metrik-Eigenschaften M1-M3 erfüllt, ist eine durch induzierte Metrik, was zu zeigen war.