Korollar - Linearkombinationen der Komponenten der mehrdimensionalen Normalverteilung sind normalverteilt

• Bewiesen durch:
  • Additionsgesetz der Normalverteilung
  • Komponenten der mehrdimensionalen Normalverteilung sind normalverteilt
• Involvierte Definitionen:
  • Linearkombination
  • Normalverteilung
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Korollar: Linearkombinationen der Komponenten der mehrdimensionalen Normalverteilung sind normalverteilt

Sei ein Vektor.
Sei eine symmetrische, positiv-definite Matrix.
Sei ein k-dimensional normalverteilter Zufallsvektor.

Dann gilt auch, dass Linearkombinationen der normalverteilt sind.

Genauer gilt für alle :

Anmerkung

Konstruktion einer mehrdimensionalen Normalverteilung

Netterweise können wir uns aus einer Menge normalverteilter Zufallsvariablen nach obigem Schema auch einen normalverteilten Zufallsvektor konstruieren.