Algorithmus - Berechnung der Determinante per Gaußalgorithmus

• Bewiesen durch:
  • Zeilenvertauschung dreht das Vorzeichen der Determinante um
• Involvierte Definitionen:
  • Gaußalgorithmus
  • Determinante einer Matrix
  • Permutationsmatrix
  • Transformationsmatrix des Gaußalgorithmus
  • Quadratische Matrix
  • Elementarmatrix
• Veranstaltung: AlMa, MatheDS
• Referenz: @herzogWiSe22, @riedel2023

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Algorithmus: Berechnung der Determinante per Gaußalgorithmus

Sei eine quadratische Matrix.
Sei die per Gaußalgorithmus ermittelte Dreiecksmatrix von .
Sei die Permutationsmatrix, die sich durch den Gaußalgorithmus (bzw. dessen Transformationsmatrix) ergibt.

Dann erhalten wir , indem wir

• zunächst das Produkt der Hauptdiagonalen von berechnen und
• dieses anschließend mit multiplizieren, wobei die Anzahl der Einträge in ist, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen ( ist also wenn gerade und , wenn ungerade ist).

Also:

Anmerkung

Auf keinen Fall die TNF berechnen

Auf keinen Fall wollen wir Zeilenmultiplikationen machen (siehe auch Zeilenmultiplikation multipliziert auch Determinante).

Das müssen wir aber in der Regel tun, um die TNF zu erhalten.

Das machen wir nicht, damit wir die Determinante nicht weiter verändern.

Tipp

Dass wir multiplizieren müssen, folgt daraus, dass Zeilenvertauschungen das Vorzeichen der Determinante umdrehen.

Die Permutationsmatrix gibt wiederum an, welche Zeilen vertauscht wurden (nämlich genau die, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen).

Indem wir diese zusammenaddieren, erfahren wir, wie viele Zeilenvertauschungen vorgenommen wurden.

Für kleine

Für kleine kann die Berechnung per Laplace’schem Entwicklungssatz einfacher sein. (Insbesondere weil man sich nicht um die Permutationsmatrix kümmern muss.)