Definition - Elementarmatrizen

• Konstrukte:
  • Permutationsmatrix
• Generalisierungen: Elementare Zeilenumformungen, Standardmatrix
• Eigenschaften: Proposition - Invertierbarkeit von Elementarmatrizen
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE1 - Zeilenäquivalente Matrizen

Im Folgenden zeigen wir, dass es Matrizen

gibt, die die Definition - Elementare Zeilenumformungen wie folgt abbilden:

• : Transformation auf
• : Transformation auf
• : Transformation auf

Wir nennen sie auch die Elementarmatrizen

Definition und Beweis

Die Elementarmatrizen erhalten wir, indem wir jeweils einen der drei Umformungstypen auf die Einheitsmatrix anwenden. Die Idee dabei ist:

• im Grunde ist die Einheitsmatrix das neutrale Element
• die Umformungen an ihr führen dann zu den Transformationen

Elementarmatrix (Typ 1)

Die Elementarmatrix erhalten wir, indem wir die Transformation auf die Einheitsmatrix anwenden.

Die allgemeingültige Formel dazu:

Was dabei passiert:

1. Wir entfernen den Eintrag an der Stelle und fügen ihn stattdessen an der Stelle ein.
2. Wir entfernen den Eintrag an der Stelle und fügen ihn stattdessen an der Stelle ein.

In anderen Worten: wir tauschen einfach nur die Zeilen und der Einheitsmatrix

Beweis

Wir beginnen erst damit, was überhaupt zu zeigen ist:

Was ist hier überhaupt zu zeigen?

Es ist zu zeigen, dass die Elementarmatrix die Zeilen genau so flippen kann, wie es die Transformation tut.

Was bedeutet es, Zeilen zu flippen? Das bedeutet:

1. Die Zeile auf zu setzen
2. Die andere Zeile an ihrer Stelle einzufügen
3. Die Zeile auf zu setzen
4. Die Zeile an ihrer Stelle einzufügen

In anderen Worten:

1. (Zeile auf )
2. (Zeile an Stelle von einsetzen)
3. (Zeile auf )
4. (Zeile an Stelle von einsetzen)

oder in einer großen Operation:

Der (eigentliche) Beweis

Es ist also zu zeigen, dass:

Laut Definition gilt

Also

was zu zeigen war

Beispiel

Wir können nun eine Matrix

mithilfe von transformieren:

Elementarmatrix (Typ 2)

Die Elementarmatrix erhalten wir, indem wir die Transformation auf die Einheitsmatrix anwenden

Die allgemeingültige Formel dazu:

mit (um Grad und Invertierbarkeit zu gewährleisten)

Was dabei passiert:

• Wir erhöhen den E intrag der Einheitsmatrix an dem Diagonaleintrag um .
• Da gilt, hat der Diagonaleintrag dann genau den Wert

Beweis

Wir beginnen erst damit, was überhaupt zu zeigen ist:

Was ist hier überhaupt zu zeigen?

Es ist zu zeigen, dass die Elementarmatrix die -te Zeile genau so mit einem Skalar multiplizieren kann wie die -Transformation.

Hierzu muss das -fache auf die Zeile addiert werden wie folgt:

• ist hierbei die -te Zeile, die wir -fach nehmen
• und hinzufügen.

Der (eigentliche) Beweis

Es ist also zu zeigen, dass

Laut Definition gilt

Also

was zu zeigen war

Beispiel

Wir können nun eine Matrix

mithilfe von transformieren:

Elementarmatrix (Typ 3)

Die Elementarmatrix erhalten wir, indem wir die Transformation auf die Einheitsmatrix anwenden.

Die allgemeingültige Formel dazu:

Was dabei passiert:

• Wir wissen von Multiplikation mit einer Standardmatrix, dass Multiplikation mit Standardmatrizen die Zeilen und des Faktors tauscht.
• Genau das tun wir hier. Wir lassen die ursprüngliche Zeile aber in stehen und fügen sie nur zusätzlich zu der -ten Zeile hinzu.
• Und um das zu tun fügen wir einfach nur den Wert an der Stelle hinzu

Beweis

Wir beginnen erst damit, was überhaupt zu zeigen ist:

Was ist hier überhaupt zu zeigen?

Es ist zu zeigen, dass die Elementarmatrix das -fache der -ten Zeile genau so zu der -ten Zeile addiert wie die Transformation -Transformation.

Eine Matrix, die das -fache der -ten Zeile von in ihrer -ten Zeile enthält bekommen wir wie folgt:

Daher ist die komplette Transformation:

Der (eigentliche) Beweis

Es ist also zu zeigen, dass

Laut Definition gilt:

Daher

was zu zeigen war

Beispiel

Wir können nun eine Matrix

mithilfe von transformieren: