Proposition - Invertierbarkeit von Elementarmatrizen

• Bewiesen durch: Proposition - Multiplikation von Standardmatrizen miteinander
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE1 - Zeilenäquivalente Matrizen

Proposition: Invertierbarkeit von Elementarmatrizen

Es gilt grundsätzlich, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind.

Beweis

Es ist also zu zeigen, dass aus jeder der drei Elementarmatrizen durch Multiplikation mit einem inversen Element wieder die Einheitsmatrix erhalten werden kann.

Beispiele

• ist invers zu
• ist invers zu
• ist invers zu

Beweis Typ 1

• Wir wissen, dass eine Einheitsmatrix ist, deren -te und -te Zeile vertauscht sind.
• Wir wissen weiter, dass die -te und -te Zeile einer Matrix tauscht.

Daher ist was zu zeigen war

Beweis Typ 2

• Wir wissen, dass eine Einheitsmatrix ist, die an der Stelle den Wert hat.
• Wir wissen weiter, dass die -te Zeile mit dem Wert multipliziert.
• und dass

Daher ist .

Analog gilt was zu zeigen war

Beweis Typ 3

• Wir wissen, dass eine Einheitsmatrix ist, die an der Stelle den Wert hat.
• Wir wissen, eine Einheitsmatrix ist, die an der Stelle den Wert hat.
• Durch Multiplikation wird die -te Spalte -mal zur -ten Spalte addiert.
• Die -te Spalte hat eine an der Stelle .
• Die -te Spalte hat eine an der Stelle .
• ⇒ Die wird mit -mal addiert
• ⇒ Der Eintrag wird zu
• ⇒ Das Ergebnis ist daher
• ⇒ Was zu zeigen war